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基于人工智能计算的Volterra积分方程的解法综述

木马童年 2019-7-5 04:10 44 0

  摘 要:本文总结了基于人工智能计算的Volterra积分方程的解法,分别利用了LS-SVR良好的回归性能以及RBFNN的全局逼近能力,得到了两种相应的解法。仿真实验结果表明,这两种方法均达到了很高的精度,绝对误差未超 ...

  摘 要:本文总结了基于人工智能计算的Volterra积分方程的解法,分别利用了LS-SVR良好的回归性能以及RBFNN的全局逼近能力,得到了两种相应的解法。仿真实验结果表明,这两种方法均达到了很高的精度,绝对误差未超过 数量级,并且比Jafar提出的方法效果更好。在要求高精度的情况下,为解决第二类线性Volterra积分方程提供了有力的工具。 中国论文网 https://www.xzbu.com/7/view-11837541.htm  关键词:Volterra积分方程;人工智能;LS-SVR;RBFNN

一、引言

积分方程是近现代数学的一个重要分支,它在数学物理,天文,力学,工程以及生物医学等领域都有着广泛的应用。许多数学物理方程可以用积分方程来描述,而许多偏微分方程的定解问题也可转化为积分方程问题来处理。特别地,对于许多实际的微分方程模型,亦可通过将其转化为Volterra积分方程来解决。本文主要研究求解具有如下形式的第二类线性积分方程。

(1)

在方程(1)中,参数,函数和均是给定的,而是将被确定的未知函数。如果积分上限满足b=x,那么称方程(1)为Volterra积分方程;如果 是一个常数,那么称它为Fredholm积分方程。本文仅考虑第二类线性Volterra积分方程。

很多数值解法都能够求解第二类线性Volterra积分方程,如:机械求积法,投影法,最小二乘法,Runge-Kutta法,线性多步法等。以下我们将总结求解Volterra积分方程的人工智能的方法―由X.C.Guo,C.G.Wu等人提出的基于LS-SVR的Volterra积分方程的解法以及由郭新辰,吴希等人提出的基于RBFNN和PSO的混合方法。

二、基本理论

1.最小二乘支持向量回归(LS-SVR)

假设给定一组样本数据集(本文中取n=1),其中xi是输入向量,yi是对应的输出。LS-SVM模型具有如下的形式:

(2)

其中,非线性映射函数将输入向量映射到高维特征空间。对于函数估计,LS-SVM定义如下的优化问题:

(3)

满足等式约束条件:

(4)

对应方程(3)的拉格朗日函数定义如下:

(5)

其中, 是拉格朗日乘子。参考Suykens和Lukas的结论,优化问题(5)的解法可以通过解决如下的线性方程获得:

(6)

其中,,而满足Mercer条件,形式为:。

至于核函数的选取,有很多种方法。一些普通的核函数如表1所示,其中d和均为常数。本文选取的是径向量核函数(RBF)。

解决方程(5)后,便可得到LS-SVM函数回归模型如下:

(7)

显然,方程(6)中的是仅与输入向量,参数和核函数有关的量。

表1 经典的核函数

名称 核函数表达式

线性核函数

多项式核函数

径向量核函数

2.径向基神经网络(RBFNN)

径向基神经网络(RBFNN)是一种新颖有效的3层前馈式神经网络,共分为3层:第一层为输入层,由信号源的节点构成;第二层为隐含层,隐含层的单元数须视具体问题而定。其中,隐单元的变换函数是非负非线性函数,分布具有局部性,对中心点径向对称且逐步衰减;第三层为输出层,神经网络的输出是对隐单元的输出进行线性加权得出。

RBF神经网络从输入空间到隐含层空间的变换是非线性的,而从隐含层空间到输出层空间的变换则是线性的。由径向基函数(RBF)作为隐单元的“基”,构成隐含层空间,通过对输入矢量的一次变换,将低维的模式输入数据变换到高维空间内,对隐单元的输出进行加权求和即可得到输出,便是RBF神经网络的基本思想。

RBF神经网络具有全局最佳逼近能力,计算量少且推广性能好,已广泛应用于非线性函数逼近、时间序列预测分析、模式识别等各个领域。同时,与BP神经网络相比,RBF神经网络具有更强的函数逼近和分类能力,训练步数更少,以使训练速度更快。

常用的径向基函数可采用高斯(Gaussian)函数与MQ函数,分别为:

(8)

(9)

其中,,为基函数的中心,且为RBF的宽度,用来控制函数的径向作用范围。本文采用高斯(Gaussian)函数作为径向基函数。

三、结论

本文总结了两种人工智能的方法,解决了第二类线性Volterra积分方程的求解问题。与解析解比较的结果表明这两种方法均达到了很高的精度,绝对误差未超过10-6数量级,并且比Jafar提出的方法效果更好。在要求高精度的情况下,为解决第二类线性Volterra积分方程提供了有力的工具。同时,在概述的第一种方法中,还可以利用极限学习机(ELM)良好的回归性能,作进一步的模型推广,但这也会加大模型的计算复杂度。

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